今日はヴァイオリン日和 <大学受験編>

高校生の娘と母の日々の想いを綴っています。
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「数学」って面白い?!

数学で「場合の数」のお勉強中の郁たち。
さて、今回の授業の課題は、

5枚のカードから無作為に3枚のカードを選んだ時の組み合わせの数と、同じ5枚のカードから無作為に2枚を選んだ時の組み合わせの数が同じになる理由を説明せよ。


201502141


「順列(P)」ではなく「組み合わせ(C)」の問題。
まずは、同じ5枚のカードから異なる枚数のカードを選ぶのだから、本当にその組み合わせは同じなの?という疑問が涌くのですが、計算すれば、どちらも10通りになることはすぐにわかります。

組み合わせ1
組み合わせ2
すでに!(階乗)とpermutation(nPr)、combination(nCr)を使って解答を導く方法を習ったらしい・・・

しかし、「組み合わせ数が同じになる」理由の説明は、「計算した結果『答え』が同じだから」では成り立ちません。そこに起こっている事象を論理的に(?)説明する必要があります。つまり、「解き方(解法)」ではなく、「見方」「考え方」が課題・・・?

授業では、この課題を、小グループでわいわい言いながら話しあって、答えを考えたのですが、途中、「難しくて、わからない!」と投げ出しそうになる子もいる中、いろいろと想定して(?)考えていた郁の姿勢が先生から褒められたのだそうです・・・。結局、郁には答えは出せなかったのですが、その答えに至ったのは郁のグループの子でした(郁も含めての話し合いの効果あり?)。

その答えは・・・、
言われてみれば、「ああ、そうだ!」とみんなすぐに納得できるのですが、母も郁に言われるまで気づきませんでした。そこに生じている事象全体を見ることができると、気づくのですが、「数学」ではどうしても問題になっている事象にしか注目しない傾向が強いので、なかなか答えに行きつかなかったのでしょう。しかし、こういうふうに物事を他の側面(視点)から見ることに気づけるかどうかが、応用問題を解くときのカギになるのかもしれませんね。「『数学』のひらめき」につながる発想の仕方なのかも・・・。

このことを講義として先生から説明するならば、2分もあれば充分可能です。郁たちは何の疑問を持つことなく「わかる」でしょう。「そんなこと当たり前」と・・・。ただ、それは「知識」としての理解。しかし、今回、時間をかけてこの課題に取り組んで、試行錯誤しつつ考えた末に結論に至ったとき、それは「知識」としてではなく、「あー、そうだよね!」という「気づき」として、郁たちの中にすーと落ちていったのではないかと、郁の話を聞きながら母は感じました。もしかしたら、「知識」として知ることではなく、自分たちの「知識」を使いながら、試行錯誤して考えて、考えて「気づき」に至るという過程を経験させたいという意図が先生にはあったのかもしれないなあ・・・と感じました。
郁曰く、「こう考えると、条件が同じときはいつもこうなるね

郁の「数学」は、いつも「平均点」と、抜きつ抜かれつつの追っかけっこ状態。でも、決して「数学」に対する苦手意識はなく、嫌いな科目ではありません。逆に、「高校生になったら、『数学研究部』面白いかも・・・」なんて言っています。「数学」が面白いと思えるのは、やはりこんな授業の積み重ね効果なのでしょうね。
「面白い」と思えることは、学びを深めるための第一歩です。
それを信じて、もうしばらく待ってみようと思う母なのでした・・・



<追記>
ところで、今回の課題の答えは何でしょう?
そうなんです。簡単なんです・・・。




201502191
読んでただいてありがとうございました
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【 2015/02/19 】 中学2年生 | TB(-) | CM(6)
おもしろい
選んだ3枚の組み合わせの分、残った2枚の組み合わせがある。
同じように、2枚選んだ時の組み合わせの分、残った3枚の組み合わせがある...
そのことから、どちらの組み合わせ数も同じになるってことかな?
そんな単純じゃないかっ.....(苦笑)

でも、考える力、発想力は、今一番求められていますよね。
ちはやも、知識・理解はOKなのですが、数学的な考え方....で撃沈の日々。
知識はあり、計算もできる
もちろん、出されている問題は、今まで勉強したものを使えばできるもの。
答えをみれば、「ああ~なんだ。」
なのですが、ちょっと見方を変えたり、言葉や表記がが変わると
”つながらない”....様子です。難しく考えてしまうのか
よくわかっていない小5のあすかが、ぽんと気づいたりします(苦笑)
頭を柔らかくする。いろんな角度から、視点から向き合う大切さを感じます。

やわらか頭になるためには、郁さんのような授業体験が大切なんだろうな~。
我が家でも、いろいろパズル的&クイズ的&ひらめき問題を楽しみたいです。

しかし、そんな計算式
見た記憶が.....あれれ(爆)
【 2015/02/19 】 編集
Re: こはる さま ♪
コメントありがとうございます<(_ _)>

ピンポ~ンv-357
さすが、こはるさん、大正解ですv-315
たったこれだけのことなんですけどね、郁たちは結構苦戦したようでした。
実は、母もすぐには思いつかなかったのです・・・(涙

中学受験の算数の問題をやっていたとき、小学校で習うことだけを組み合わ
せてあるだけなのに、その組み合わせ方によりここまで難しい問題ができて
しまうことにある意味感動していました。
たぶん、高校入試の難問も同じなんでしょうね。
本当に、いろんな角度から、視点から向き合うことが大切だと思います。
「答えをみれば、『ああ~なんだ。』」と思える問題は、しっかり分析して
その視点がどこにあるのか、ポイントはどこかを実感することが必要ですね。

ところで、この計算式違ってますか~?
母の数学力のなさが・・・v-12

【 2015/02/20 】 編集
いえいえ(>_<)
いえいえ、公式云々ではなく....
見たこと&やったことの記憶がないというか....
「私、こんな勉強した?」的な記憶ですよ~(ーー゛)ヘヘヘッ

私ね、中学はなんとか数学ついて行ったのですが
高校にいったら、最下位争いの3年間だったんです(苦笑)
追試常連さんでね。
途中、「わからない」とあきらめてしまった自分がいたんだと思います。
でも、今になって勉強が楽しくなって^^

だから、組み合わせ(C)の計算も
「なんでこうなるの?」って自分なりに考えています。
郁さんのように、なぜ?を大切にして
この公式がどのようにして成り立つかを検証中(笑)
自分なりの推測をして、簡単な組み合わせで証明して
正確な公式の成り立ち、計算の仕方を調べたいと思います。

ちはやにも、問題を出してみますね。
「おかあちゃんは、すぐわかったよ~。」
って、えっへん顔で(笑)
おかあちゃんにだけは、負けたくない 娘なので。
素適な時間をありがとうございます。
【 2015/02/20 】 編集
数学オリンピックに出てる子や数学者さんでも、計算は得意じゃない人もいるって話は、よく聞きますので。計算力と、数学的思考は、ベツモノなんでしょうね。こんな授業は、面白いだろうなぁ~。娘の数学の先生も、中学数学は嫌いだったけど、高校に入ってから、目覚めた!と言ってましたし。自分の高校時代、同級生が、突然、「数学ってキレイ!」と言いだして数学科に行きました。どのタイミングで楽しめるかは、解んないもんですね。郁ちゃんの、これからが楽しみですね♪

話し合いの授業が成り立つのが、いいなぁ~って思います。多分、娘のクラスでこの問題をやったら、違う話で盛り上がっちゃう子が大半なんじゃないかなぁ~(汗)
【 2015/02/21 】 編集
Re: こはる さま ♪♪
コメントありがとうございます<(_ _)>

まあ、高校の数学は、母も似たようなものです・・・^_^;
少なくとも、数学の授業を楽しいと感じたことはなかったですね。
とにかく「問題が解けて何ぼ!」の世界でしたから・・・。

郁の中学受験の「算数」を一緒にやっているうちに、なんとなく
おもしろくなってきました。子どもと一緒に学びなおすことで、
自分の学生時代とはちがったおもしろさ、楽しさを感じられる
ような気がします(^^)v
まだまだ、子どもには負けられないですね。

この問題、たぶん、ちはやちゃんならすぐに気づかれますよ。







【 2015/02/21 】 編集
Re: なんちゃって さま ♪
コメント、ありがとうございます<(_ _)>

そうなんですよね。計算力と「数学」はベツモノ・・・。
以前、数学者の新井紀子氏の本を読んだ時にもそう感じました。
小学校の「算数」は、まだ「算数=計算力」の部分が大きいように
感じますが、「受験算数」は、結構「算数的考え方」が必要で、
一緒にやっていて楽しかったですね。
中学のこの時期は、まだまだ「数学」の基本になる部分をやっているだけ
ですが、高校になるとこの知識を活用して、もっと「おもしろさ」を感じ
ることができるのかもしれませんね。「数学ってキレイ!」って、
なんとなくわかります。それでもやはり、最低限の計算力(処理能力)は
必要だろうなあ・・・。

郁たちは、いろんな科目でグループワーク(GW)をやっています。
郁曰く、「テーマから脱線していると、他のグループに負けるでしょ!
だから、話は脱線しないの!」
他のグループより、いかに良い結果をより早く導くか・・・に燃えている
みたいです。どんな中学生なんだか・・・^_^;
それは、みんながある程度同じ方向を目指しているからなのかもしれませ
ん・・・。







【 2015/02/21 】 編集
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